第五百二十七章 佐恩引理（集合論）

　　康托爾發(fā)現(xiàn)集合論后，提出集合論有互異性、確定性和無序性后，有的數(shù)學(xué)家恥笑康托爾集合無序性的原則。對(duì)康托爾說：“無序性會(huì)有什么作用？”

　　康托爾反駁：“我們把東西堆在一起，形成一個(gè)集合就行，不需要給他排序?！?p>　　克羅內(nèi)克笑道：“你研究集合論是研究有理數(shù)和無理數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)開始的，對(duì)數(shù)字不講順序，你著集合算什么數(shù)學(xué)？是個(gè)不知大小沒有高低的東西？那證明里的歸納法如何用集合問題取解決？”

　　康托爾這時(shí)才深深的感覺到，良序定理是“思維的基本原理”。他對(duì)數(shù)學(xué)家們說：“所有集合都可以被良序排序。”

　　康托爾不僅僅要面對(duì)一般的數(shù)學(xué)歸納法，還要面對(duì)超限歸納法，數(shù)學(xué)歸納法時(shí)后繼序數(shù)，而超限歸納法不是后繼序數(shù)。

　　策梅洛提出了良序定理，其內(nèi)容表述為對(duì)任何集合S，存在S上的二元關(guān)系R，使得是良序集。

　　良序定理是非常重要，因?yàn)樗_保所有集合適用超限歸納法的強(qiáng)力技術(shù)。

　　后來為了證明良序定律，策梅洛提出了選擇公理，表述為設(shè)C為一個(gè)由非空集合所組成的集合。那么，我們可以從每一個(gè)在C中的集合中，都選擇一個(gè)元素和其所在的集合配成有序?qū)斫M成一個(gè)新的集合。

　　要證明選擇公理，并非一件容易的事，其中一個(gè)原因是選擇公理不單是一條簡單的數(shù)學(xué)命題，而是牽涉較基層的數(shù)學(xué)──集合論。而集合論正就是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，所以在證明時(shí)，工具也會(huì)較少。

　　而這里又出現(xiàn)了新情況，就是左恩引理的出現(xiàn)。

　　佐恩引理在1922年首先被庫拉托夫斯基所發(fā)現(xiàn)，1935年佐恩亦獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)此結(jié)論。

　　表述是在任何一非空的偏序集中，若任何鏈（即全序的子集）都有上界，則此偏序集內(nèi)必然存在（至少一枚）極大元。

　　佐恩引理，良序定理和選擇公理彼此等價(jià)，在集合論的公理基礎(chǔ)上，上述三者中從任一出發(fā)均可推得另外兩個(gè)。