第五百二十九章 嘉當(dāng)活動標(biāo)架論（幾何學(xué)）

　　嘉當(dāng)開始尋找怎樣才可以更準(zhǔn)確的研究流形？

　　他開始想象一個流形，這個流形在局部當(dāng)然是平整的，但這個局部的點(diǎn)開始移動的時(shí)候，這個平整的面就會有角度的變化。

　　當(dāng)然在光滑流形上的標(biāo)架可以理解為從一點(diǎn)到一點(diǎn)的變化。

　　這種變化，除了位置以外，還有切線的變化。

　　在曲率的切線速率變化幾何特征。

　　居然可以找到恒變量。

　　活動標(biāo)架法的原始想法很老的。

　　要試圖了解空間里一個曲線的幾何

　　你要標(biāo)示曲線的每一個點(diǎn)。

　　首先標(biāo)示曲線的速度向量。

　　就是曲線的切線方向。

　　然后標(biāo)示曲線的加速度。

　　就是曲線轉(zhuǎn)的方向。

　　然后第三個防線方向。

　　顯示曲線的扭曲方向。

　　裝備了這套東西后，也就是

　　給曲線上每一點(diǎn)這三個方向后

　　就可以框出曲線的走向。

　　曲線上每一個點(diǎn)都有不同的標(biāo)架

　　這就是活動標(biāo)架法的由來。

　　這個想法在曲面上也很管用。

　　它的美妙之處在于。

　　當(dāng)你順著曲線走的時(shí)候。

　　你可以專注于標(biāo)示架轉(zhuǎn)動的方式。

　　這樣可以算出曲面上。

　　所有有用的信息。

　　這個關(guān)于三維空間里。

　　曲線和曲面的簡單概念。

　　可以被推廣到。

　　高維空間的高維對象。

　　從活動標(biāo)架法出發(fā)。

　　寫下微分形式。

　　把微分算子α作用到微分形式上去。

　　將它們用別的形式表達(dá)出來。

　　再把α作用到這些微分形式上去。

　　最后得到了一些幾何不變量。

　　這簡直就是奇跡。

　　在局部上一點(diǎn)的標(biāo)架的存在性是顯然的，在全局上的存在性要求拓?fù)錀l件的滿足。

　　嘉當(dāng)發(fā)現(xiàn)在圓圈或圓環(huán)上的活動標(biāo)架就存在，在二維球面上就不存在了。

　　存在一個全局活動標(biāo)架的流形稱為可平行化的。

　　嘉當(dāng)還發(fā)現(xiàn)將緯度和經(jīng)度的單位方向作為地球表面上的活動標(biāo)架在北極和南極會有問題。

　　埃里·嘉當(dāng)?shù)幕顒訕?biāo)架法基于對于所研究的特定問題取一個相應(yīng)的活動標(biāo)架。

　　例如，給定一個空間中的曲線，曲線的前三個導(dǎo)數(shù)通?？梢越o出其上一點(diǎn)一個標(biāo)架(參看定量的形式參看撓率-它假設(shè)撓率非0）。更一般地，活動標(biāo)架的抽象含義是將切叢作為一個向量叢時(shí)，其伴隨叢主叢GLn的一個截面。一般的嘉當(dāng)方法利用了這點(diǎn)，并在嘉當(dāng)聯(lián)絡(luò)中討論。

　　對于球面只有S1、S3、S7和是可平行化的。