第五百三十七章 格羅滕迪克連續(xù)與離散的對(duì)偶性（代數(shù)幾何）

　　格羅滕迪克認(rèn)為真正的數(shù)學(xué)家不是僅僅去破解什么猜想，那樣只是局部的，數(shù)學(xué)家應(yīng)該解決大問題，那就是組建一種強(qiáng)大的東西，這個(gè)東西可以輕松的破解很多猜想。

　　格羅滕迪克有疑問：“為什么數(shù)學(xué)中會(huì)有連續(xù)，會(huì)有離散?！?p>　　讓·庫(kù)朗說：“這不是很常見的事情嗎？”

　　格羅滕迪克說：“到我們這里這個(gè)看似最常見的事情就很奇怪了，任何一個(gè)看似簡(jiǎn)單的東西都是奇怪的。很多東西其實(shí)還會(huì)對(duì)代數(shù)理論大一統(tǒng)會(huì)起到阻礙作用?！?p>　　庫(kù)郎說：“如果要是真要這樣刨根問底，那世間的每個(gè)東西都會(huì)很困難，也許向你這樣的人反而會(huì)認(rèn)為很簡(jiǎn)單吧?！?p>　　格羅滕迪克說：“我跟你們一樣，也是一步步來的。我想說的師，自從我開始研究范疇論之后，我首先面臨的問題就是對(duì)偶的問題。我從尋來范疇眾，找到了6種對(duì)偶運(yùn)算。”

　　庫(kù)郎說：“你說的對(duì)偶運(yùn)算，是不是類似加和減對(duì)偶，乘與除對(duì)偶這個(gè)意思？”

　　格羅滕迪克說：“是的。范疇里的對(duì)偶要豐富很多，其中有單射與滿射對(duì)偶，核與上核，始對(duì)象核終對(duì)象，內(nèi)射對(duì)象與投射對(duì)象。”

　　庫(kù)郎說：“等等，你說的這些是對(duì)偶的？”

　　格羅滕迪克說：“是對(duì)偶，而且不僅僅是這樣，在范疇論里這樣的對(duì)偶會(huì)讓一個(gè)概念變成兩個(gè)概念，這兩個(gè)概念如果不這樣說，你都不知道會(huì)有對(duì)偶這樣的關(guān)聯(lián)?！?p>　　庫(kù)郎驚駭?shù)恼f：“那你的意思是，會(huì)讓很多看起來沒關(guān)系的兩個(gè)數(shù)學(xué)用這個(gè)對(duì)偶來聯(lián)系？”

　　格羅滕迪克說：“你不覺得，數(shù)學(xué)種需要這樣的例子嗎？像你這樣的，天天大喊例子的人?！?p>　　庫(kù)郎說：“那能是什么樣的對(duì)偶，莫非是數(shù)論和幾何圖形？”

　　格羅滕迪克說：“沒錯(cuò)，這只是其中之一而已。”

　　為何代數(shù)簇與坐標(biāo)環(huán)一一對(duì)應(yīng)，因?yàn)槎囗?xiàng)式環(huán)是多項(xiàng)式，

　　前面曾經(jīng)談到在仿射代數(shù)簇和它的坐標(biāo)環(huán)之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此對(duì)仿射代數(shù)簇的幾何研究也就可以轉(zhuǎn)化為對(duì)相應(yīng)的坐標(biāo)環(huán)的代數(shù)研究。

　　然而坐標(biāo)環(huán)是一種性質(zhì)很好的環(huán)，它在環(huán)論中還有一個(gè)專門的名稱叫“-代數(shù)(-algebra)”。

　　由于不是每個(gè)交換環(huán)都可以成為仿射代數(shù)簇的坐標(biāo)環(huán)(例如整數(shù)環(huán)就是如此)，所以格羅騰迪克就想用任意的交換環(huán)來構(gòu)造一種類似于仿射代數(shù)簇那樣的抽象的幾何對(duì)象，使得每一個(gè)交換環(huán)都可以成為這種抽象幾何對(duì)象的“坐標(biāo)環(huán)”。

　　大約在1957年左右，卡吉耶(Cartier)建議用交換環(huán)的全體素理想的集合（稱為的“素譜”）來作為與對(duì)應(yīng)的“幾何對(duì)象”，它是經(jīng)典仿射代數(shù)簇的抽象推廣。

　　這個(gè)簡(jiǎn)單的想法立即成為了格羅騰迪克重建代數(shù)幾何基礎(chǔ)的出發(fā)點(diǎn)。這是因?yàn)槊總€(gè)交換環(huán)的素譜連同它上面的結(jié)構(gòu)層一起，都能夠組成一個(gè)環(huán)層空間(，)，這個(gè)環(huán)層空間就是最簡(jiǎn)單的概形——“仿射概形(affine scheme)”。

　　這個(gè)仿射概形就是格羅騰迪克心目中的“抽象的幾何對(duì)象”。

　　一旦有了仿射概形，那么對(duì)這種新的幾何對(duì)象的研究就能夠轉(zhuǎn)化為對(duì)任意交換環(huán)的代數(shù)研究，這就將極大地拓展這種新幾何的適用范圍，實(shí)現(xiàn)人們長(zhǎng)久以來夢(mèng)寐以求的將代數(shù)幾何與代數(shù)數(shù)論統(tǒng)一起來的夢(mèng)想。

　　概形就是局部同構(gòu)于仿射概形的環(huán)層空間，或者也可以將概形粗略地理解為是將一些仿射概形經(jīng)過適當(dāng)?shù)摹罢迟N”后而得到的。

　　由于仿射概形是仿射代數(shù)簇的推廣，因此很明顯：概形確實(shí)是經(jīng)典代數(shù)簇的抽象推廣。