斯泰因豪斯對巴拿赫說：“你對函數(shù)的理解已經足夠深刻了，可能是個革命?！?p> 巴拿赫說：“以前研究函數(shù)是數(shù)字，方程這些東西。而對我來說，函數(shù)應該更加廣泛才對。所以，就叫更廣泛的函數(shù)，簡稱泛函數(shù)?！?p> 斯泰因豪斯說：“你的意思是？”
巴拿赫說：“自變量和因變量純粹就是集合，要按照集合的樣子嚴謹分析?！?p> 斯泰因豪斯說：“你的意思是不僅限于數(shù)字，而是任何一種可以組成集合的元素，也就是任何一種研究對象？比如，數(shù)字、圖形、符合甚至語言等等？”
巴拿赫說：“沒錯，但是在這里面我們需要嚴格定義。”
斯泰因豪斯說：“如何嚴格呢？”
巴拿赫說：“首先我研究的是無限維空間，而且無限維空間必須要有各個單位，成為基。這需要引入佐恩引理。”
斯泰因豪斯說：“我知道，是在任何一非空的偏序集中，若任何全序的子集都有上界，則此偏序集內必然存在極大元。數(shù)字有大小，集合的大小也就是這樣了。按照偏序集來，真正序不太可能了?！?p> 巴拿赫說：“主要原因是來源于非歐幾何，我們?yōu)榱俗屨麄€幾何結構嚴謹，才在希爾伯特空間基礎上加工出這樣的結構來?！?p> 泛函分析目前包括以下分支：
軟分析，其目標是將數(shù)學分析用拓撲群、拓撲環(huán)和拓撲向量空間的語言表述。
巴拿赫空間的幾何結構，以Jean Bourgain的一系列工作為代表。
非交換幾何，此方向的主要貢獻者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍歷論中的結果為基礎的。
與量子力學相關的理論，狹義上被稱為數(shù)學物理，從更廣義的角度來看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示論的大部分類型的問題。