歐式幾何一直是人類認識自然物體形狀的有力工具，還是各種學科理論的基礎(chǔ)。
1883年，康托爾引入了如今廣為人知的康托爾集，也稱為三分集。雖然康托爾集很容易構(gòu)造，還是個測度為0的集，也就是它的函數(shù)圖像面積為0，但它具備很多最典型的分形特征，因此康托爾始終無法解決。
目前分形幾何的特征有：在任意小的尺度上都能有精細的結(jié)構(gòu)；太不規(guī)則；（至少是大略或任意地）自相似，豪斯多夫維數(shù)會大於拓撲維數(shù)（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）；有著簡單的遞歸定義。
1895年，在大部分數(shù)學家認為除了少數(shù)特殊的點以外，連續(xù)的函數(shù)曲線在每一點上總會有斜率的情況下，魏爾斯特拉斯提出了第一個分形函數(shù)“魏爾斯特拉斯函數(shù)”，并憑借函數(shù)曲線特點“處處連續(xù)，處處不可微”證明了所謂的“病態(tài)”函數(shù)的存在性。
1906年，科赫在論文《關(guān)于一條連續(xù)而無切線，可由初等幾何構(gòu)作的曲線》中提到了一種像雪花的幾何曲線，而這個雪花曲線就是de Rham曲線的特例科赫曲線。
1914年，波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基利用等邊三角形進行分形構(gòu)造，提出了謝爾賓斯基三角形；兩年后，利用正方形進行分形構(gòu)造提出了謝爾賓斯基地毯。
之后的59年間，陸續(xù)有人研究出相關(guān)的分形情況，但始終都沒有人能夠消滅這些數(shù)學怪物，直到“分形學之父”Benoit Mandelbrot（本華·曼德博，又譯為芒德布羅）誤打誤撞發(fā)現(xiàn)了一只臭蟲，誕生了真正屬于自然界的幾何學——分形幾何，才徹底解決。
1961年，在IBM擔任研究員的Mandelbrot收到了解決阻止信號傳輸?shù)陌自肼暤娜蝿?wù)。雖然任務(wù)相當簡單，但是Mandelbrot被要求提供新的解決方案，因此他只好借助自身擅長可視化思考問題的優(yōu)勢來探索解決方法。
于是在從形狀上觀察白噪聲的時候，Mandelbrot發(fā)現(xiàn)白噪聲轉(zhuǎn)換而成的擾動圖形揭示了一種奇怪的特征：無論圖形的比例是多大，無論數(shù)據(jù)代表的時長是多少，擾動模式基本一致。
這很奇怪，誰能告訴我為什么
這個奇怪的特征讓Mandelbrot甚是苦惱，不過他有個好叔叔。因為他的叔叔佐列姆·芒德勃羅伊（Szolem Mandelbrojt）曾經(jīng)建議他研究研究皮埃爾·法圖（Pierre Fatou）和加斯頓·朱利亞（Gaston Julia）建立的迭代理論和公式z = z2 + c。
公式采用變量z和參數(shù)c，映射了復平面上的數(shù)值。其中x軸測量復數(shù)的實數(shù)部分，而 y 軸測量復數(shù)的虛數(shù)部分。
而正是因為這個建議，在借助IBM家的高性能計算機的情況下，Mandelbrot通過迭代對數(shù)字進行了成千上萬次的運算和處理，最終成功繪制輸出值的圖形—一個形似臭蟲的圖形。
迭代是重復反饋過程的活動，其目的通常是為了逼近所需目標或結(jié)果。每一次對過程的重復稱為一次“迭代”，而每一次迭代得到的結(jié)果會作為下一次迭代的初始值。
沒錯，這就是那只臭蟲
圖形的成功繪制并沒有讓Mandelbrot過于興奮，因為他在細心觀察后發(fā)現(xiàn)這只臭蟲的小觸角跟大觸角的形狀是一樣的，但是結(jié)構(gòu)并不完全一樣，每一個小觸角比前一個觸角更為復雜。也就是說全部觸角的形狀都很相似，但是細節(jié)存在不同之處。
Mandelbrot對此甚感興趣，進行深入研究后得出細節(jié)的特異性僅限于計算等式所用的機器的能力，而形狀的相似可以永遠持續(xù)下去—無限地揭示越來越多的細節(jié)。隨后，Mandelbrot就覺察出自己無意中有了能夠震驚數(shù)學界的發(fā)現(xiàn)—一種新的幾何學。
對于這類重復的或者自身相似的數(shù)學圖形，Mandelbrot在1975年提出了“分形”，緊接著在1967年，他發(fā)表了題為《英國的海岸線有多長》的劃時代論文，萌生出分形思想。
直到1982年出版的《大自然的分形幾何》（第二版）才讓分形幾何徹底走進公眾的視野，而通過描述樹，Mandelbrot指出了分形幾何適用于自然物質(zhì)。
進入了主流數(shù)學研究范疇，幫助數(shù)學家們徹底解決了困擾著大家N年的數(shù)學怪物，還對非負實數(shù)維數(shù)進行研究，形成分形理論，并應用于多個領(lǐng)域。
分形幾何無處不在，離我們最近的要數(shù)身體中的生理過程了。
在過去很長時間里，科學家們一直認為人類的心臟是以規(guī)則的線性形式跳動，然而真正健康的心臟的心率是以特殊的不規(guī)則形式跳動的。同樣，體內(nèi)的血液也是以不規(guī)則方式在人體內(nèi)分布。
借助分形幾何，醫(yī)生無需借助更清晰的醫(yī)學圖像或者更強大的機器就可看到人體器官癌變前的結(jié)構(gòu)，并能通過分形學生成的數(shù)學模型更早的檢測出癌變細胞，而非顯微鏡。
生物和醫(yī)療只是分形幾何的其中兩個最新應用領(lǐng)域，而更加為人所知的應該就是分形藝術(shù)了。
最開始將藝術(shù)和數(shù)學聯(lián)系在一起還是Mandelbrot，他向世界展示了這兩個領(lǐng)域并非互相排斥的，之后分形藝術(shù)便一發(fā)不可收拾。
分形藝術(shù)不同于普通的“電腦繪畫”，它主要利用分形幾何學原理，借助計算機強大的運算能力，將數(shù)學公式反復迭代運算，再結(jié)合創(chuàng)作者的審美及美術(shù)功底，就將創(chuàng)作出一幅幅精美的藝術(shù)畫作。
芒德布羅在想：“分形的本質(zhì)就是一個無窮的反饋過程，大自然界的分形，就是大自然自我反饋的過程，這種自我反饋就是今天的信息來源于昨天的基礎(chǔ)，昨天不是消失了，而變化成了新的模樣。”
“書和花的形狀與分形如此的類似，那是因為植物的生成就是一個自我不斷反饋的過程，而反饋的發(fā)生正是因為細胞的分裂，細胞分裂就是一個反反復復的過程。”
“世間沒有不自我反饋的形狀，抽象的圓形、正方形和三角形不存在。萬事萬物都是無限的自我反饋而生成，所以都有自己的分形。”
“隨機似乎不那么容易天然自然而成，更像是無限自我反饋的過程中，不小心出現(xiàn)了雜志一般的自我混亂的過程。所以隨機不是自我的反饋，而是一個雜質(zhì)的干擾而已，在無窮強大的分形和自我反饋中，隨機數(shù)有時候表現(xiàn)的像個蟲子。”
“自然之母，來之無窮的相同反饋?！?