第五百九十一章 哥德爾定理（邏輯學(xué)）

　　德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert， 1862-1943）擴(kuò)展了弗雷格和羅素的工作，提出了著名的希爾伯特方案，即數(shù)學(xué)的任何分支都可以被重新表述為一種形式理論，他提出以下3個(gè)問題是否存在正解：

　　一個(gè)形式理論，其中的公理不能產(chǎn)生矛盾，它的一致性能否在理論本身內(nèi)得到證明？

　　形式理論能被證明是完備的嗎，因?yàn)樗巳魏握嬲臄?shù)學(xué)陳述在它想要體現(xiàn)的特定分支中。

　　是否存在一個(gè)純粹的機(jī)械過程，我稱之為通用證明機(jī)制，來判定任何給定的數(shù)學(xué)命題的真假。這個(gè)問題在德語中被稱為判定問題（Entscheidungsproblem）。

　　哥德爾對于所謂的所有東西都可以被計(jì)算這樣的問題詞嗤之以鼻。

　　對于策梅洛的ZF公理，總會(huì)有問題存在，不可能對于數(shù)學(xué)計(jì)算是完備的。

　　“誰也不能證明他們的功力系統(tǒng)，即是完備的，又是可靠的。”

　　哥德爾認(rèn)為這可以打敗任何一個(gè)自稱可以自圓其說的理論系統(tǒng)。

　　“對于任意可靠的公理和推理規(guī)則系統(tǒng)S，必存在正確的數(shù)論結(jié)論不能在S中被證明?！备绲聽栕C明這個(gè)震驚世界的理論。

　　對于聰明的科學(xué)家和數(shù)學(xué)家，就明白自己只能無限接近真理而無法到達(dá)真理。

　　只有倔強(qiáng)的愛鉆牛角尖的人才覺得自己可以統(tǒng)一宇宙。

　　首先這個(gè)定理雖然保護(hù)“不完備”三個(gè)字，但是你千萬別理解說哥德爾這個(gè)人，創(chuàng)造出來的定理是不完備的，恰恰相反，定理本身肯定必須完備，只不過定理的內(nèi)容是說“某某東西不完完備而已”。所以了解這點(diǎn)之后我們就要進(jìn)一步講解這個(gè)定理。

　　所以哥德爾不完備定理，精髓就是自然數(shù)系統(tǒng)內(nèi)“自洽性”和“完備性”不可兼得，只能放棄一個(gè)，保全另一個(gè)，有點(diǎn)魚和熊掌不可兼得的意思。

　　但是事情到了這里還沒完，因?yàn)槲覀兡壳皵?shù)學(xué)上面還有很多猜想未被證明，比如黎曼猜想，哥德巴赫猜想等等，人類奮斗了這么多年，還是沒有證明出來。在哥德爾不完備定理出現(xiàn)之前，人類遇到某猜想不能證明，第一反應(yīng)就是：雖然現(xiàn)在不能證明，不代表以后不能證明，未來某時(shí)刻，肯定有某位數(shù)學(xué)家能夠證明。但是當(dāng)哥德爾不完備定理出現(xiàn)后，這個(gè)想法似乎被打破了，這似乎再暗示我們，有一些數(shù)學(xué)猜想，可能就是因?yàn)槿藗冞^渡去追求“自洽性”，把“自洽性保全了”，但是“完備性”卻破壞了，所以出現(xiàn)了類似于“黎曼猜想”。這似乎再暗示：有一些數(shù)學(xué)猜想就是既不能被證明，又不能被證偽的，現(xiàn)在是這樣，以后也是這樣，不會(huì)有某位數(shù)學(xué)家能夠改變這一點(diǎn)。