第六百零二章 齊默猜想（高維空間，對(duì)稱性）

　　羅伯特·齊默(Robert Zimme)證明了低維度空間的一些對(duì)稱性質(zhì)不存在。

　　2017年，一個(gè)三位數(shù)學(xué)家組成的團(tuán)隊(duì)解決了名為齊默猜想的問題，這個(gè)問題主要是研究在某些情形下幾何空間會(huì)顯示出某種特定的對(duì)稱性。他們的證明是近幾年來最大的數(shù)學(xué)成就之一。這個(gè)問題是齊默在20世紀(jì)70年代后期到20世紀(jì)80年代前期學(xué)術(shù)活躍期間提出的，現(xiàn)如今這個(gè)問題得到了解決。

　　一般而言，我們通常認(rèn)為幾何空間的維度越多，對(duì)稱性特征也就越多。比如，你可以去比較二維平面上的圓和三維空間中的球：旋轉(zhuǎn)球的方法就比旋轉(zhuǎn)圓的方法要多得多。這就是因?yàn)榍虻念~外維度使得球有了更多的對(duì)稱性。

　　齊默猜想關(guān)注點(diǎn)主要是在某種特定類型的對(duì)稱性，這通常被稱之為高階格(higher-rank lattice)。這個(gè)猜想關(guān)注了以下問題：一個(gè)幾何空間的維度是否會(huì)限制對(duì)這些類型對(duì)稱性產(chǎn)生。

　　芝加哥大學(xué)的阿倫·布朗教授(Aaron Brown)。

　　賽巴斯提安·烏爾塔多·薩拉查教授(Sebastian Hurtado-Salazar)。

　　印第安納大學(xué)的大衛(wèi)·費(fèi)希爾教授(David Fisher)的最新研究表明，只要低于某一維度，某些特殊的對(duì)稱性就不可能存在。

　　這也就證明了齊默猜想是正確的。

　　對(duì)稱性是人們從孩提時(shí)期的數(shù)學(xué)中便接觸到的幾何學(xué)概念。通過動(dòng)手分析，孩子們便知道由于對(duì)稱性，圖形可以旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)和平移，最后得到的圖形和最開始是一致的。圖形的這種在變化中保持不變的特性滿足了某種內(nèi)在特點(diǎn)——它揭示了宇宙法則中的某種深刻涵義。

　　在數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)家們用自己特定的規(guī)范性語言來研究對(duì)稱性。這種語言為他們提供了非常準(zhǔn)確的方法來描述在給定的幾何空間中所有不同的對(duì)稱性。

　　比如說，正方形有八個(gè)對(duì)稱變換——也就是說有八種方法可以將正方形翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)成原來的圖形。而對(duì)于圓來說，圓按任意角度旋轉(zhuǎn)之后仍然是圓；它有無數(shù)個(gè)對(duì)稱變換。數(shù)學(xué)家把特定幾何對(duì)象或空間所具有的對(duì)稱性全部歸類在一起，稱之為“群”。

　　群原本就是非常有價(jià)值的研究對(duì)象。群通常會(huì)出現(xiàn)在特定幾何空間的研究中，但是他們也會(huì)出現(xiàn)在非幾何領(lǐng)域中。比如，數(shù)的集合也可以組成群。（比如說：考慮如下的對(duì)稱性，例如給一個(gè)數(shù)+5或-5。）

　　齊默說：“理論上，各類事物的對(duì)稱性都可以用群來表達(dá)?！?p>　　現(xiàn)在我們討論的對(duì)稱性和我們?cè)谛W(xué)時(shí)所學(xué)到的相差甚遠(yuǎn)。比如，參考格的對(duì)稱性。最簡(jiǎn)單的格就是一個(gè)二維網(wǎng)格。在平面上，你可以將這塊網(wǎng)格往上、下、左、右的方向平移任意方塊的距離，然后得到一個(gè)它完全一樣大小的網(wǎng)格。你還可以對(duì)網(wǎng)格內(nèi)任何單獨(dú)的正方形進(jìn)行對(duì)稱變換。這種有類似格的空間，一般而言會(huì)有無窮個(gè)多種多樣的對(duì)稱變換。

　　這種可以存在任何維度的空間里。在三維空間里，格就是一個(gè)個(gè)正方體，而不是正方形。在四維或更高維度的空間里，我們就無法畫出這種格了，但是性質(zhì)是一樣的。數(shù)學(xué)家可以用自己的語言進(jìn)行準(zhǔn)確描述。齊默猜想的關(guān)注對(duì)象主要就是這些特定維度的?！叭绻憧梢钥吹竭@些網(wǎng)格，這些奇怪的格會(huì)特別美麗。盡管我看不到?！睘鯛査?薩拉查教授說，“我猜想如果它們能展現(xiàn)在我們眼前，他們的形狀一定特別好看?！?p>　　齊默說：“由于在高維度的情況下，你由此得到的群會(huì)愈發(fā)復(fù)雜，問題的解決也就變得更加困難。”

　　當(dāng)我們分析對(duì)稱性的時(shí)候，我們所想象到的是，整個(gè)圖形正在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，就像一個(gè)正方形按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)90°。在一個(gè)比較微觀的層級(jí)中去觀察，對(duì)稱性與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有密切的聯(lián)系。按對(duì)稱性將空間進(jìn)行變換意味著將空間上的每一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)到空間的另外一處。在這種視角下，將正方形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的真正意義是：考慮正方形上的每一個(gè)點(diǎn)，然后將它順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，這樣每個(gè)點(diǎn)就移動(dòng)到了新的邊上，這些點(diǎn)最終出現(xiàn)在與初始位置不同的邊上。

　　或多或少的，我們都是用剛性的方式來進(jìn)行移動(dòng)。最熟悉的一些對(duì)稱操作——通過對(duì)角線進(jìn)行鏡面變換，或者旋轉(zhuǎn)90°——都非常剛性的。他們之所以剛性的是因?yàn)樗麄儾]有對(duì)點(diǎn)進(jìn)行扭曲。鏡面變換前在頂角上的點(diǎn)在變換以后還是頂角上的點(diǎn)（只不過是不同的頂角），鏡面變換前在邊上的點(diǎn)在變換以后還是邊上的點(diǎn)（只不過是不同的邊上）。

　　但是，在實(shí)際上，還有很多更為靈活的對(duì)稱變換類型，這也是齊默猜想所感興趣的地方。在這些變換中，點(diǎn)會(huì)被最大限度的重組；他們?cè)谧儞Q的過程當(dāng)中不會(huì)完全遵循他們?cè)谧儞Q前的位置關(guān)系。例如你可以將正方形的每一個(gè)點(diǎn)都圍繞著移動(dòng)三個(gè)單位——這還是滿足了一個(gè)對(duì)稱變換的基本要求，它將空間上的每一個(gè)點(diǎn)都移動(dòng)到了新的位置。新證明的合作者艾倫·布朗借助球的模型來解釋這種不受約束的變換方式。

　　布朗稱：“你可以試著將球的南北兩極向相反方向拉扯，球上的距離和點(diǎn)之間的距離會(huì)加大。”

　　當(dāng)你在討論一個(gè)網(wǎng)格時(shí)，除了平移平面中的網(wǎng)格，你還可以對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行扭曲，或者在某些地方進(jìn)行扭曲，而在其他地方進(jìn)行拉伸，這就使得轉(zhuǎn)換后的網(wǎng)格不再與原來的網(wǎng)格完全重合。這些變換就沒有那么剛性了，他們被稱之為微分同胚。

　　在他的猜想當(dāng)中，齊默有非常好的理由認(rèn)為這種更為柔性的變換是有意義的。在20世紀(jì)60年代，格里戈里·馬爾古利斯(Grigory Margulis)對(duì)在齊默的猜想當(dāng)中涉及的這種高維格進(jìn)行了研究。馬爾古利斯也因?yàn)檫@項(xiàng)工作由此獲得了菲爾茲獎(jiǎng)。當(dāng)要求只進(jìn)行剛性的變換時(shí)，哪些空間可以由這些高維格轉(zhuǎn)換而來，馬爾古利斯給出了這種空間所有滿足的條件。

　　因此，齊默猜想是對(duì)馬爾古利斯研究的自然延伸。他便是開始于高維格架構(gòu)變換得以實(shí)現(xiàn)的空間——馬爾古利斯所找到的空間——并持續(xù)深入探討如果允許不那么剛性的變換，也就是在放寬變換的條件之后，這個(gè)集合是否會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)張。

　　在他們新的研究當(dāng)中，三位數(shù)學(xué)家們證明了當(dāng)高維格的放寬對(duì)對(duì)稱性的定義以后，廣義的對(duì)稱性特征并沒有本質(zhì)變化。即使格進(jìn)行不規(guī)則的空間變換時(shí)——比如剪切、彎曲、拉伸——高維格仍然被限制在它們所在的空間中。

　　費(fèi)希爾說：“由于在這個(gè)問題上加了那么多的靈活性之后，你就有了一種直觀的感受，這些高維格群能作用于任何空間上。所以，我們很驚訝的發(fā)現(xiàn)，答案是不對(duì)的。在某種情況下，他們不能作用于任何空間上?！?p>　　這幾位數(shù)學(xué)家們?cè)诳臻g的維度和能作用在其上的高維格維度（或秩）之間建立了聯(lián)系。他們證明了在通常情況下格的維度越高，空間的維度也應(yīng)該越高，這樣才能對(duì)格的對(duì)稱性產(chǎn)生作用。在高維空間里，即使有非常好的空間變換靈活性，高維格的變換依舊受到高維空間的限制。

　　威爾金森說：“這就告訴了我們，空間將物體組合在一起會(huì)有一些非?；A(chǔ)的特性，這種特性使得他們能夠產(chǎn)生這些變換?！?p>　　齊默猜想只是解決一個(gè)大問題的第一步。通過解決這個(gè)猜想，這個(gè)問題的研究者們對(duì)這些高維格能做用的空間給出了一個(gè)粗略的限制條件。下一步是更加宏偉的計(jì)劃，研究者將關(guān)注在這些空間中格是如何出現(xiàn)的，接著將這些格在空間中變換的方法進(jìn)行分類。

　　齊默說：“這項(xiàng)計(jì)劃最后是要分清楚所有這些方法。在你目前所看到的問題之外還有更有趣的，有一些空間中，格是不能保持對(duì)稱性的。但有趣的問題則遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了這些內(nèi)容?！?