第六百零九章 最脆弱的素數(shù)（數(shù)論）

　　1978年，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種十分“脆弱”的素數(shù)，任意改變其一位數(shù)就會變成合數(shù)，它們被稱為“易損素數(shù)”。

　　近期，數(shù)學(xué)家找到了更多的“易損素數(shù)”，而這一概念也被再一次擴展……

　　讓我們來看看以下幾個數(shù)字，試試看能否發(fā)現(xiàn)它們的特別之處：294001、505447、584141。

　　你可能會注意到它們都是素數(shù)（只能被自己和1整除），但其實這幾個數(shù)的不尋常之處遠(yuǎn)不止如此。如果我們選取這幾個數(shù)字中的任意一位進行更改，新得到的數(shù)字就成為了一個合數(shù)，比如將294001中的1改成7，那么得到的數(shù)字就可以被7整除，改成9，則可以被3整除。

　　這些數(shù)字被稱為“易損素數(shù)”，它們是相對較新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。1978年，

　　數(shù)學(xué)家默里·克拉姆金（Murray Klamkin）提出了這一類素數(shù)的猜想，之后迅速得到了有史以來發(fā)表論文數(shù)量最多的數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）的回答，他不僅證明了易損素數(shù)確實存在，而且證明了它們的數(shù)量是無限的。后來，其他數(shù)學(xué)家進一步擴展了埃爾德什的結(jié)果，其中就包括菲爾茲獎?wù)碌弥魈照苘?，他?011年的一篇論文中證明了易損素數(shù)之間是呈“正比例”的。這意味著，隨著素數(shù)本身變大，連續(xù)兩個易損素數(shù)之間的平均距離保持穩(wěn)定。也就是說，易損素數(shù)并不會變得越來越稀少。

　　在近期發(fā)表的兩篇論文中，南卡羅來納大學(xué)的邁克爾·菲拉塞塔（Michael Filaseta）更進一步地闡述了這一觀點，并提出了一類結(jié)構(gòu)更為精妙的易損素數(shù)。

　　他受到埃爾德斯和陶哲軒工作的啟發(fā)，設(shè)想將一個無限長的前導(dǎo)零串作為素數(shù)的一部分，就像數(shù)字53和…0000053的值是一樣的，那么如果改變一個易損素數(shù)前無限的零中的任意一個，素數(shù)會變合數(shù)嗎？菲拉塞塔假定這些數(shù)字是存在的，并將其稱為“廣義的易損素數(shù)”。

　　2020年11月，他與研究生耶利米·索斯威克（Jeremiah Southwick）共同發(fā)表了一篇論文來探究這些數(shù)字的性質(zhì)。這項結(jié)果得到了喬治亞大學(xué)數(shù)學(xué)系教授保羅·波拉克（Paul Pollack）的盛贊。

　　顯而易見，這樣的數(shù)字比原來的易損素數(shù)更加難找。波拉克說：“294001是一個易損素數(shù)，但并不是一個廣義上的易損素數(shù)，因為如果我們把…000294001變?yōu)椤?10294001，得到的并不是合數(shù)，而是另一個素數(shù)。

　　事實上，菲拉塞塔和索斯威克找遍了1 000 000 000以內(nèi)的所有整數(shù)，也沒有在十進制下找任何一個廣義的易損素數(shù)。然而，這并沒有阻止他們繼續(xù)尋找的腳步。

　　經(jīng)過不懈的探索，他們證明了這樣的數(shù)字在十進制的情況下確實是可能存在的，而且還會有無窮多個。更進一步，他們還證明了廣義的易損素數(shù)同樣是呈正比例的，就像陶哲軒的結(jié)論那樣。之后，在索斯威克的博士論文中，他在2、9、11和31進制上獲得了相同的結(jié)果。波拉克對這些發(fā)現(xiàn)印象深刻，他說：“對于這些數(shù)字，你可以做無限多可能的改變，然而不管你做哪一個改變，你得到的始終是一個合數(shù)?！?p>　　證明過程主要依靠兩種工具，第一種被稱為覆蓋同余（covering systems），是由埃爾德什在1950年發(fā)明的，目的是解決一個數(shù)論中的問題。索斯威克說：“覆蓋同余能夠提供大量的分組，同時保證每個正整數(shù)至少在其中一個分組中?！崩?，如果將所有正整數(shù)除以2，我們就能得到兩個分組：一組偶數(shù)，一組奇數(shù)。這樣即可“覆蓋”所有的正整數(shù)，而在同一組內(nèi)的數(shù)字則被認(rèn)為彼此是“一致”的。當(dāng)涉及的數(shù)字量十分大時，也就是面對尋找廣義易損素數(shù)時，情況會顯得更為復(fù)雜。我們需要更多的分組，大約1025000個，在這些分組內(nèi)的每一個素數(shù)都要保證，在增加了任意一位的數(shù)字，包括前面的零之后，能夠變成合數(shù)。

　　但為了找到廣義的易損素數(shù)，這些數(shù)中的任何一位數(shù)字減少后，也必須變成合數(shù)。這就是第二種工具，稱為篩分法。篩分法最早可以追溯到古希臘，它提供了一種計算、估計或設(shè)置滿足某些性質(zhì)的整數(shù)個數(shù)限制的方法。菲拉塞塔和索斯威克使用了一個篩分參數(shù)，類似于陶哲軒在2011年采用的方法，也就是如果你在前面提到的組中取素數(shù)并減少其中的一個數(shù)字，會有呈正比的素數(shù)變成合數(shù)。換言之，廣義的易損素數(shù)也是呈正比的。

　　然后，在一月份的一篇論文中，菲拉塞塔和他現(xiàn)在的研究生雅各布·朱伊拉特（Jacob Juillerat）提出了一個更加驚人的觀點：存在任意長的連續(xù)素數(shù)序列，其中每個數(shù)字都是廣義的易損素數(shù)。例如，有可能找到10個連續(xù)的廣義易損素數(shù)。但這必須得檢驗大量的素數(shù)，菲拉塞塔說，“這一數(shù)量可能比可觀測宇宙中的原子數(shù)還要多?！彼堰@比作連續(xù)10次中彩票，雖然概率特別小，但是依舊是有可能的。

　　菲拉塞塔和朱伊拉特分兩個階段證明了他們的定理。首先，他們使用覆蓋同余來證明存在一個包含無限多個素數(shù)的分組，分組內(nèi)的所有數(shù)字都是易損素數(shù)。在第二步中，他們應(yīng)用了丹尼爾·邵（Daniel Shiu）于2000年證明的一個定理：在所有的素數(shù)中，存在任意數(shù)量的連續(xù)素數(shù)屬于上述的分組中。這也就能夠進一步說明，這些連續(xù)的素數(shù)必然是廣義的易損素數(shù)。

　　達特茅斯學(xué)院的卡爾·波默朗斯（Carl Pomerance）非常喜歡這些論文，他稱贊菲拉塞塔是應(yīng)用覆蓋同余的大師。同時，他還指出，用十進制來表示一個數(shù)字可能會很方便，但這并不符合數(shù)字的本質(zhì)。他認(rèn)為，還有更基本的方法來表示數(shù)字，比如梅森素數(shù)的定義——素數(shù)p的表現(xiàn)形式為2p–1的素數(shù)。

　　在之前的研究基礎(chǔ)上，最近的一些相關(guān)論文提出了更多值得探討的問題。比如，每一種進制下是否都存在廣義的易損素數(shù)？當(dāng)在兩個數(shù)字之間插入一個數(shù)字，而不是僅僅替換一個數(shù)字時，是否會有無窮多的素數(shù)變成合數(shù)？

　　此外，波默朗斯還提出了另一個有趣的問題：當(dāng)數(shù)字接近于無窮大時，是否所有的素數(shù)都會變?yōu)椋◤V義）易損素數(shù)？這是否也就意味著，非（廣義）易損的素數(shù)個數(shù)是有限的？盡管他和菲拉塞塔都還沒有想到辦法來證明這個猜想。

　　波默朗斯說：“數(shù)學(xué)研究的魅力就是你事先不會知道你是否能夠解決一個具有挑戰(zhàn)性的問題，或者這個問題是否是有意義的。就像你不能提前決定：今天我要做一些有價值的事情，因為你不知道在數(shù)學(xué)研究中，什么事情才是有價值的，你只能去不斷思考，不斷嘗試?！?