公元前1650年左右的古埃及數(shù)學典籍《萊因德數(shù)學紙草書》，其中記錄了古埃及人如何將有理數(shù)表示為單位分數(shù)之和。
這里有{2，3，7，12，15，18，21，29，32，36} 10個數(shù)字組成的一個數(shù)集，我們可以選擇其中的2、3、12、18、36，就能得到1/2+1/3+1/12+1/18+1/36=1。
單位分數(shù)就是分子是1的分數(shù)，或者也可以說是正整數(shù)的倒數(shù)，它們是當時古埃及數(shù)字系統(tǒng)中唯一一類分數(shù)，他們需要用單位分數(shù)來表示其他更復雜的分數(shù)，比如將3/4寫作1/2和1/4的和。
到了20世紀70年代，有關這類分數(shù)的問題再次引起了一些數(shù)學家的興趣。當時，數(shù)學家埃爾德什（Paul Erd?s）和格雷厄姆（Ronald Graham）在探索想要設計出不滿足條件的整數(shù)集有多難，也就是說，一個整數(shù)集中不能有任何子集，其倒數(shù)之和等于1。
如果A是N的子集，A具有正密度，那么存在有限的S是A的子集，使得其中數(shù)的倒數(shù)和為1。在此，數(shù)集A是自然數(shù)集的子集，無論你怎么數(shù)下去，都存在一種非零的概率，會遇到集合A中的一個數(shù)字，那么A就具有正密度。
猜想提出約半個世紀后，牛津大學數(shù)學家Thomas Bloom證明了它。
舉個簡單的例子，A是一個包含所有大于1的奇數(shù)的集合，它屬于自然數(shù)集的子集，并滿足正密度的條件，因為無論你數(shù)到10億還是100億，也一定會遇到奇數(shù)。然后，我們可以在A中找到有限子集S ={3，5，7，9，11，33，35，45，55，77，105}，而所有這些數(shù)的倒數(shù)相加恰好等于1。
這理解起來并沒有那么困難，但證明它顯然就變成另一回事了。那就變成了一個大得多、復雜得多的問題。對不少數(shù)學家來說，似乎找不到什么顯而易見的數(shù)學工具來解決它。
數(shù)學家Ernie Croot，他解決了所謂的埃爾德什-格雷厄姆問題的著色版本。
這是一種更弱的證明?？梢赃@么理解，在著色版本中，整數(shù)被隨機地分類，指定放到不同顏色的桶中。猜想預測，無論這種分類中用到了多少個桶，至少會有一個桶包含一個倒數(shù)之和等于1的整數(shù)子集。
Croot這篇發(fā)表于2003年的論文引入了來自調(diào)和分析的強大的新方法，那是一個與微積分密切相關的數(shù)學分支。
著色版本和密度版本非常相似，但它們在一個非常重要的方面卻有所不同。在著色問題中，整個數(shù)集A被分成了不同的“桶”，具體的分割方法并不重要。數(shù)學家要證明的是，有一個“桶”里的數(shù)字滿足條件。這正是Croot在論文里構建的證明，表明了至少會有一個“桶”里包含足夠多具有低素因子的數(shù)字，用數(shù)學術語來說就是光滑數(shù)（smooth number），從而滿足定理。
這可以看作證明的一條捷徑，但在密度版本中，這樣的捷徑并不存在。當Bloom看到這篇證明后，卻認為這種方法要比人們普遍認為的更強，那實際上證明了密度問題的一個特例。Bloom謙虛地表示，他所做的“只是又推了一下那扇已經(jīng)打開的門”。
粗略來說，先前的證明依賴于一類被稱為指數(shù)和的整數(shù)。指數(shù)和可以分成兩個部分，分別是優(yōu)弧貢獻，也就是我們可以明確計算并且很大的部分，以及劣弧貢獻，也就是我們不知道如何計算，但能證明很小的部分。
先前證明的巧妙之處在于，Croot想到了一種思考劣弧貢獻的新方法，把它變成了一類不同的問題。他沒有試圖計算數(shù)值，而是研究了這個集合中倍數(shù)是如何沿著數(shù)軸分布的。
在此基礎上，Bloom將它進一步改進成適用于密度版本，進行了更多“局部”處理。在Bloom的新論文中，他將自己的方法解釋為“Croot引入的方法的一種更強形式”。
同時，Bloom沒有直接尋找倒數(shù)之和為1的答案，而是先找到了倒數(shù)相加更小的數(shù)集，然后再把它們當作“零件”，最終構建出想要的答案。這進一步幫助簡化了過程。
Bloom的新證明受到了許多數(shù)學家的贊賞，但這顯然不是數(shù)集與和的問題探索的終點。
數(shù)論一直在尋找數(shù)字中的隱藏結構。當數(shù)論學家遇到一種似乎無可避免的數(shù)字模式時，他們會不斷測試這種模式的穩(wěn)定程度，探索它的邊界和極限，從而挖掘出埋藏在數(shù)字中的新信息。
在過去20年間，組合與分析數(shù)論都有了很大發(fā)展，讓數(shù)學家能夠以全新的視角看待許多古老的問題。同時，在計算機的幫助下，以更嚴格的方式檢驗證明也成為可能。