第六百三十一章 伯格曼核

　　在此之前丘成桐也考慮了如何用伯格曼核的想法來逼近Kahler-Einstein度量，如何將卡拉比猜想推廣到開流形與有奇點(diǎn)的流形上，并在幾篇著名的綜述文章中予以詳細(xì)的闡述。

　　與第一陳類小于和等于零的情況相反，直到丘成桐提出他的猜想前，第一陳類大于零的情況一直顯得頗為迷離。

　　首先這類流形有不存在Kahler-Einstein度量的例子。

　　在20世紀(jì)60年代，松島（Matsushima）證明了Kahler-Einstein流形的自同構(gòu)群必須可約。

　　80年代初，福復(fù)（Futaki）引進(jìn)了此類流形上存在Khler-Einstein度量的障礙函數(shù)，被稱之為福復(fù)不變量。

　　事實(shí)上，很多學(xué)者，如卡拉比、福復(fù)等都誤以為沒有全純向量場(chǎng)應(yīng)該是Kahler-Einstein度量存在的唯一必要條件，并沒有意識(shí)到流形本身穩(wěn)定的重要性。

　　在較特殊的復(fù)二維情形，有一些存在性結(jié)果，但蕭蔭堂一直認(rèn)為，這些結(jié)果并不完備，至今也還沒有完整的結(jié)果。

　　此后近30年，田剛一直沿著丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力，試圖理解正曲率條件下，穩(wěn)定性與Kahler-Einstein度量的存在性如何相關(guān)，他用福復(fù)不變量定義了一個(gè)解析穩(wěn)定性的概念，稱為K-穩(wěn)定性，并取得了一些進(jìn)展。

　　然而這個(gè)問題的真正突破來自于唐納森，他在2001年證明了如果卡勒流形上的卡勒類中存在一個(gè)常數(shù)量曲率的度量，并且其自同構(gòu)群是離散的，那么這個(gè)流形就是在代數(shù)幾何意義下是穩(wěn)定的。唐納森所用的關(guān)健工具恰好是丘成桐考慮過的伯格曼核的逼近方法，他敏銳地觀察到伯格曼核漸進(jìn)展開的第二項(xiàng)正是數(shù)量曲率，如果它為常數(shù)，則相應(yīng)的偏微分方程便可解。

　　非線性方程雖然難解，但是有一些方法可以讓它變得稍微容易處理。

　　首先，當(dāng)面對(duì)非線性問題時(shí)，我們盡可能援用線性理論。例如，要分析一條彎彎曲曲（非線性）的曲線，我們可以在曲線上任一點(diǎn)，對(duì)曲線（或定義它的函數(shù)）求導(dǎo)數(shù)以得到其切線，這基本上就是曲線在該指定點(diǎn)的“線性逼近”。

　　用線性數(shù)學(xué)來逼近非線性世界是常用的策略，然而宇宙畢竟是非線性的，這一事實(shí)當(dāng)然不會(huì)有所改變。要追尋宇宙的真理，我們需要能把幾何和非線性微分方程結(jié)合起來的技巧。這就是幾何分析所做的，而它也對(duì)弦論和最近的數(shù)學(xué)發(fā)展極有裨益。

　　我們的研究提供了觀察如何在非線性系統(tǒng)中發(fā)展出奇點(diǎn)的定量73方法，其做法是追蹤兩點(diǎn)距離如何隨時(shí)間變化。

　　如果這兩點(diǎn)發(fā)生碰撞，亦即兩點(diǎn)間距離縮小至零，那就是奇點(diǎn)了。

　　了解奇點(diǎn)幾乎是了解任何與熱流動(dòng)相關(guān)問題的關(guān)鍵。尤其是，我們的技巧提供了“盡可能逼近奇點(diǎn)”的方法，顯示了在碰撞發(fā)生之前瞬間的情形，例如各點(diǎn)移動(dòng)的速度等，就好像鑒識(shí)人員要重建車禍的事故現(xiàn)場(chǎng)一樣。