第六百三十章 Kahler-Einstein度量

　　特別的是它在復(fù)卡勒流形的第一陳類大于零、等于零和小于零三個(gè)情形，指出了Kahler-Einstein度量的存在性，即此度量的第一陳形式等于其卡勒形式。

　　這恰好對(duì)應(yīng)于黎曼面三種單值化的推廣。

　　要知道，當(dāng)時(shí)人們知道的愛因斯坦流形的例子都是局部齊性的，甚至都不知道復(fù)投影空間中的超曲面，如K3曲面上，是否有愛因斯坦度量。

　　正如龐加萊的單值化定理，霍奇定理需要經(jīng)過(guò)數(shù)年，乃至數(shù)十年努力才得到完美的證明一樣，卡拉比猜想也在數(shù)學(xué)界的期盼中，等待著它真正的王者到來(lái)，這一等就是21年。

　　對(duì)于復(fù)流形的切叢，Kahler-Einstein度量可以認(rèn)為是沒有撓率的Hermitian-Einstein度量，所以Kahler-Eienstein度量意味著流形的切叢在代數(shù)幾何意義下是穩(wěn)定的，但要更細(xì)致更深刻。

　　多年來(lái)，丘成桐一直考慮什么樣的代數(shù)穩(wěn)定性對(duì)應(yīng)著Kahler-Einstein度量的存在。

　　從我1988年來(lái)到哈佛成為丘成桐的學(xué)生，他的討論班里最多的話題就是代數(shù)幾何中各種穩(wěn)定性的概念與相關(guān)的度量和分析問題。

　　第65個(gè)問題就猜測(cè)Kahler-Einstein度量的存在性應(yīng)該等價(jià)于代數(shù)幾何中幾何不變量意義下的穩(wěn)定性。

　　在第一陳類大于零的復(fù)流形上，這個(gè)猜想首次給出了Kahler-Einstein度量存在的充分必要條件，建立了標(biāo)準(zhǔn)度量與代數(shù)幾何的密切關(guān)系。