第六百二十九章 Hermitian-Einstein度量

　　另一個(gè)與卡拉比猜想密切相關(guān)的問題是代數(shù)幾何中全純向量叢的穩(wěn)定性與其上的Hermitian-Einstein度量的對(duì)應(yīng)問題，這個(gè)問題約化成一個(gè)與規(guī)范場理論相關(guān)的極為困難的非線性方程解的存在性問題。

　　1986年丘成桐與烏倫貝克（Uhlenbeck）合作，在卡勒流形上完全解決了這個(gè)問題。

　　稍后，唐納森也在投影流形上用不同的方法將這個(gè)問題解決。

　　1988年，辛普森（Simpson）將這些結(jié)果推廣并與霍奇變分理論相結(jié)合，發(fā)展成為代數(shù)幾何中一個(gè)極為有效的工具。

　　凱勒流形的內(nèi)在對(duì)稱性

　　我們花了點(diǎn)時(shí)間來討論度規(guī)，是為了要對(duì)凱勒度規(guī)和具備這種度規(guī)的凱勒流形能夠稍微有點(diǎn)概念。一個(gè)度規(guī)是否為凱勒，和在空間上移動(dòng)時(shí)，度規(guī)如何變化有關(guān)。

　　凱勒流形是一組叫作“厄米特流形”（Hermitian manifold）的復(fù)流形的子類。

　　在厄米特流形上，你可以把復(fù)數(shù)坐標(biāo)的原點(diǎn)放在任何一點(diǎn)上，它在該點(diǎn)上的度規(guī)看起來像是標(biāo)準(zhǔn)的歐氏幾何度規(guī)。

　　但當(dāng)你離開該點(diǎn)時(shí)，它的度規(guī)就愈來愈不像歐氏的。

　　更明確地說，當(dāng)移動(dòng)到與原點(diǎn)的距離為ε時(shí)，度規(guī)系數(shù)本身的改變差異大致是ε倍。我們將這樣的流形稱為“一階歐氏空間”。

　　所以如果ε是0.001英寸（1英寸=2.54厘米），當(dāng)我們離開ε距離時(shí)，厄米特度規(guī)的系數(shù)與原先的差距會(huì)維持在約0.001英寸的誤差內(nèi)。至于凱勒流形則是“二階歐氏空間”，這表示它的度規(guī)會(huì)更加穩(wěn)定。當(dāng)與原點(diǎn)的距離為ε時(shí)，凱勒流形的度規(guī)系數(shù)的改變大致是ε2倍。

　　沿用前面的例子，當(dāng)ε=0.001英寸時(shí)，度規(guī)的變化誤差只有0.000001英寸。

　　為何卡拉比要特別重視凱勒流形呢？要回答這個(gè)問題，我們得先考慮可能的選擇范圍。

　　比方說，如果真的想要嚴(yán)格限制，你可以堅(jiān)持流形必須是完全平坦的。

　　但只要是二維以上的任何維度，唯一完全平坦的緊致流形就只有環(huán)面或它的近親。

　　就流形而言，環(huán)面其實(shí)相當(dāng)簡單，因而也相當(dāng)受限。我們希望能夠更多樣，看到更多可能性。至于厄米特流形，則又嫌限制太少，它的可能性太多太多了。于是介于厄米特和平坦之間的凱勒流形，正具有幾何學(xué)家經(jīng)常尋找的那種特質(zhì)：它們具有足夠多的結(jié)構(gòu)，因此不會(huì)難以操作，但是結(jié)構(gòu)又不會(huì)多到限制過多，以至于根本找不到符合你的明確條件的流形。