第六百二十八章 莫爾斯理論
莫爾斯考慮研究微分拓?fù)湫枰业揭粋€(gè)切入點(diǎn)。
這個(gè)切入點(diǎn)就是流形的表面，也就是這個(gè)流形的臨界面，這個(gè)臨界面雖然僅僅是表皮，但是依然能夠反映出流形的內(nèi)部信息，甚至是流形的全部信息。
莫爾斯理論(Morse theory)是微分拓?fù)鋵W(xué)中利用微分流形上僅具非退化臨界點(diǎn)的實(shí)值可微函數(shù)(稱為莫爾斯函數(shù))研究所給流形性質(zhì)的分支。它是H.M.莫爾斯在20世紀(jì)30年代創(chuàng)立的。
莫爾斯理論是微分拓?fù)鋵W(xué)中利用微分流形上僅具非退化臨界點(diǎn)的實(shí)值可微函數(shù)(稱為莫爾斯函數(shù))研究所給流形性質(zhì)的分支。它是H.M.莫爾斯在20世紀(jì)30年代創(chuàng)立的。由莫爾斯理論得知，微分流形與其上的光滑函數(shù)緊密相關(guān)，利用光滑函數(shù)不僅能研究微分流形的局部性質(zhì)，而且某些光滑函數(shù)例如莫爾斯函數(shù)包含了刻劃流形整體性質(zhì)的豐富信息。莫爾斯理論主要分兩部分，一是臨界點(diǎn)理論，一是它在大范圍變分問題上的應(yīng)用。
莫爾斯理論是研究可微流形M上定義的可微實(shí)函數(shù)f的性質(zhì)與流形M的拓?fù)渑c幾何性質(zhì)相互關(guān)系的數(shù)學(xué)分支。給定拓?fù)淇臻gX與其上的連續(xù)實(shí)函數(shù)f，則稱定義了變分問題(X，f).大范圍變分法即是對(duì)于給出的變分問題(X，f)，以函數(shù)f的性質(zhì)與空間X的性質(zhì)之間的關(guān)系作為研究對(duì)象的數(shù)學(xué)分支。在應(yīng)用上重要的變分問題有：
1.與可微函數(shù)f有關(guān)的問題；
2.與由道路構(gòu)成的空間Ω上的能量函數(shù)E有關(guān)的問題。
其中特別是問題2是以黎曼流形上的測(cè)地線理論為基礎(chǔ)，因而是以普通的變分法為其分析學(xué)基礎(chǔ)的。
問題1和2是由龐加萊與伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)所開創(chuàng)，莫爾斯(Morse，H.M.)把它們發(fā)展成近代的樣子，即莫爾斯理論。
繼莫爾斯以后，柳斯捷爾尼克(Люстерник，Л.А.)和施尼雷爾曼(Шнирельман，Л.Г.)開辟了另一條估計(jì)臨界點(diǎn)個(gè)數(shù)的途徑，即利用疇數(shù)來估計(jì)流形上函數(shù)的臨界點(diǎn)。
而斯梅爾(Smale，S.)把莫爾斯理論中梯度向量場(chǎng)零點(diǎn)的問題推廣為流形M上一般向量場(chǎng)的零點(diǎn)問題，從而導(dǎo)致維數(shù)n≥5情形廣義龐加萊猜測(cè)的解決，這是微分拓?fù)渲械囊粋€(gè)重大成就。
其次，由于測(cè)地線問題是一維變分問題，故可使得無限維空間Ω上的問題，化為有限維流形上的臨界點(diǎn)問題。
但是對(duì)于多維變分問題，無法做到這一點(diǎn)，這就使得發(fā)展無限維流形上的莫爾斯理論成為需要?？傊?，近年來莫爾斯理論被進(jìn)一步推廣和精密化，并應(yīng)用于微分拓?fù)?、微分幾何、偏微分方程、?米爾斯方程等各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域而取得重要的結(jié)果。
根據(jù)莫爾斯的基本見解，一個(gè)流形上的一個(gè)可微函數(shù)在典型的情況下，很直接的反映了該流形的拓?fù)洹?p> 莫爾斯理論允許人們?cè)诹餍紊险业紺W結(jié)構(gòu)和柄分解，并得到關(guān)于它們的同調(diào)群的信息。
在莫爾斯之前，凱萊和麥克斯韋在制圖學(xué)的情況下發(fā)展了莫爾斯理論中的一些思想。
莫爾斯最初將他的理論用于測(cè)地線（路徑的能量函數(shù)的臨界點(diǎn)）。
在數(shù)學(xué)中，K-理論（K-theory）是多個(gè)領(lǐng)域使用的一個(gè)工具。
在代數(shù)拓?fù)渲校且环N異常上同調(diào)，稱為拓?fù)銴-理論；在代數(shù)與代數(shù)幾何中，稱之為代數(shù)K-理論；在算子代數(shù)中也有諸多應(yīng)用。
它導(dǎo)致了一類K-函子構(gòu)造，K-函子包含了有用、卻難以計(jì)算的信息。
在物理學(xué)中，K-理論特別是扭曲K-理論出現(xiàn)在第二型弦理論，其中猜測(cè)它們可分類D-膜、拉蒙-拉蒙場(chǎng)以及廣義復(fù)流形上某些旋量。