第六百四十章 蒙日-安培方程（偏微分方程）

　　常見于黎曼幾何的非線性偏微分方程。

　　是一個(gè)極為艱深而復(fù)雜的偏微分方程，叫作復(fù)的Monge-Ampere方程。

　　魏爾說：“當(dāng)時(shí)還沒有足夠的數(shù)學(xué)理論來攻克它?！?p>　　這個(gè)方程需要用動(dòng)態(tài)圖才可以演示出來。

　　卡拉比說：“一片貼在固定鋼圈上的平坦塑料布。假定這片塑料布既沒有刻意拉緊，也不會(huì)太松，那么當(dāng)我們推擠這片塑料布時(shí)，它所形成的曲面會(huì)怎么彎曲或變化呢？如果是在中央處拉開，它會(huì)造成正曲率的向上隆起，這種蒙日—安培方程的解是“橢圓”型的。反過來說，如果塑料布的中心向內(nèi)彎扭，曲面會(huì)變成曲率處處為負(fù)的鞍形，而其解是“雙曲”型的。最后，如果曲率處處為零，則其解為“拋物”型?！?p>　　丘成桐知道，如果不管哪一種情形，要解的原始蒙日—安培方程都是一樣的，但是必須用完全不同的技巧來解。

　　而上述三種微分方程里，我們分析橢圓型的技巧最為完備。橢圓型方程處理較簡(jiǎn)單的靜止?fàn)顩r，物體不隨時(shí)間或在空間中移動(dòng)。這類方程用于描述不再隨時(shí)間變化的物理系統(tǒng)，例如停止振動(dòng)、回復(fù)平衡的鼓等。不僅如此，橢圓型方程的解也是三種里最容易理解的，因?yàn)楫?dāng)把它們繪成函數(shù)時(shí)，看來是光滑的，而且盡管在某些非線性橢圓型方程中會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)，但我們幾乎不會(huì)碰到棘手的奇點(diǎn)。

　　雙曲型微分方程描述的是像永遠(yuǎn)不會(huì)達(dá)到平衡狀態(tài)的波與振動(dòng)。和橢圓型不同，這類方程的解通常有奇點(diǎn)，因此處理起來困難許多。如果是線性的雙曲型方程，我們還可以處理得相當(dāng)好（線性指的是當(dāng)改變某一變數(shù)的值時(shí)，另一變數(shù)的值會(huì)成比例變化），但如果是非線性雙曲型方程，我們就沒有有效的工具來控制奇點(diǎn)。

　　拋物型方程則介于兩者之間，描述的是最終會(huì)趨于平衡的穩(wěn)定物理系統(tǒng)，例如振動(dòng)中的鼓，但因還未到達(dá)平衡狀態(tài)，因此必須考慮時(shí)間的變化。與雙曲型相比，這類方程較少出現(xiàn)奇點(diǎn)，而且就算有，奇點(diǎn)也會(huì)慢慢趨于平滑，因此就處理的困難度而言，也介于橢圓型和雙曲型之間。

　　然而，數(shù)學(xué)上的挑戰(zhàn)還不僅止于此。雖然最簡(jiǎn)單的蒙日—安培方程只有兩個(gè)變數(shù)，許多方程則有更多變數(shù)。有些方程已超出雙曲的程度，有時(shí)稱為超雙曲型；關(guān)于這類方程的解，我們所知甚少。

　　卡拉比所說的：“一旦超出了熟悉的三種類型，我們就對(duì)方程的解毫無頭緒，因?yàn)樵诖瞬]有物理世界的現(xiàn)象可資援引?！?p>　　由于這三類方程的難易度有所不同，迄今為止，絕大多數(shù)來自幾何分析的貢獻(xiàn)，都是關(guān)于橢圓型和拋物型的情況。

　　當(dāng)然我們對(duì)三類方程都有興趣，而且雙曲型方程還有許多引人入勝的問題，像是完整的愛因斯坦方程。只要還有余裕，數(shù)學(xué)家當(dāng)然是非常想要解決的。