第六百四十八章 舒伯特（Schubert）計(jì)數(shù)

　　Calabi-Yau也在數(shù)學(xué)中引發(fā)了一系列重大的進(jìn)展，如超弦學(xué)家Candelas等人通過研究不同的Calabi-Yau流形給出的相同的超對稱共形場論所發(fā)現(xiàn)的鏡對稱猜想。這個猜想由丘成桐、連文豪與我以及Givental獨(dú)立證明，它解決了代數(shù)幾何中遺留了上百年的舒伯特（Schubert）計(jì)數(shù)問題。

　　大概在格林恩與普列瑟的論文發(fā)表一年后，鏡對稱的下一步發(fā)展攫取了數(shù)學(xué)社群的注目。

　　坎德拉斯、德拉歐薩（Xenia de la Ossa）、保羅·葛林（Paul Green，馬里蘭大學(xué)）、帕克斯（Linda Parks）四人證明了，鏡對稱可以幫忙解決一個代數(shù)幾何學(xué)與“枚舉幾何學(xué)”（enumerative geometry）中的難題，這是超過數(shù)十年未解的問題。

　　坎德拉斯團(tuán)隊(duì)所研究的是五次三維形的問題，這個問題也稱為舒伯特問題，舒伯特（Hermann Schubert）是19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家，他解決了這個難題的第一部分。

　　所謂舒伯特問題是計(jì)數(shù)在五次卡拉比—丘流形上“有理曲線”（rational curve）的數(shù)目，其中有理曲線是像球面一樣，虧格為零或沒有洞的曲線（實(shí)二維曲面）。

　　計(jì)數(shù)這些東西聽起來像是種古怪的消遣，但如果你是個枚舉幾何學(xué)家，那么這就是你每天的主要工作。

　　不過這個工作絲毫不簡單，絕不像把罐子中的太妃糖倒到桌上數(shù)一數(shù)而已。

　　如何計(jì)數(shù)流形上的物件；如何為問題找到正確架構(gòu)，使得計(jì)數(shù)所得到的值有用，百余年來一直是數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn)。

　　舉例來說，如果想讓最后計(jì)數(shù)出來的數(shù)值是有限而不是無限的話，我們能計(jì)數(shù)的對象就必須是緊致空間，而不能像是平面那樣的空間。

　　又例如要計(jì)數(shù)的是曲線的交點(diǎn)數(shù)，這時相切（輕觸彼此）的情形就會造成麻煩。

　　枚舉幾何學(xué)家發(fā)展了許多技術(shù)來處理這些情況，希望最終的結(jié)果是離散的數(shù)。

　　這類問題最早的例子出現(xiàn)于公元前200年左右，希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（Apollonius of Perga）曾經(jīng)提問說：“給定三個圓，有多少圓可以同時和這三個圓相切？”這個問題的一般答案是八，并且可以用直尺與圓規(guī)來解答。

　　但是要解決舒伯特問題，則需要更精密的計(jì)算技巧。

　　數(shù)學(xué)家處理這個難題的方式是逐步處理，每一步只處理一個固定的“次數(shù)”（degree）。

　　這里所謂次數(shù)，指的是描述曲線的多項(xiàng)式中各項(xiàng)的最高次數(shù)。

　　例如4x2-5y3是三次多項(xiàng)式，6x3y2+4x是五次（x和y的次數(shù)要加起來），2x+3y-4是一次。如果令2x+3y-4等于零（2x+3y-4=0），就可以定義一條線。

　　因此這個問題是先取出五次三維形，指定有理曲線的次數(shù)，然后問說有多少這樣的曲線。

　　舒伯特解出了次數(shù)是一的情況，他證明五次三維形有2875條線。

　　大概一個世紀(jì)之后的1986年，現(xiàn)在任職于伊利諾斯大學(xué)的卡茲（Sheldon Katz）解出二次的情況，二次有理曲線數(shù)等于609250。

　　坎德拉斯、德拉歐薩、葛林、帕克斯解決的是三次的情形。不過他們的解法運(yùn)用了鏡對稱的想法，因?yàn)橄胍苯釉谖宕慰ɡ取鹆餍紊辖膺@個問題極端困難，但格林恩與普列瑟所構(gòu)造的鏡伴流形，提供了容易得多的解題框架。

　　事實(shí)上，在格林恩與普列瑟關(guān)于鏡對稱的原來論文中，就已經(jīng)指出這個基本的思路。他們說明湯川耦合這個物理量，可以用兩種差異很大的數(shù)學(xué)公式來表示，一種來自原來的流形，另一種來自鏡流形。一個公式牽涉流形中不同次數(shù)的有理曲線數(shù)，根據(jù)格林恩的說法，計(jì)算起來絕對是很“恐怖”的事情；另一個公式則牽涉流形的形狀，相較起來要簡單得多。然而因?yàn)檫@一對鏡流形描述的是相同的物理性質(zhì)，因此結(jié)果必須相等。這就像“狗”和“犬”兩字看起來不同，描述的卻是同一種覆毛的動物。格林恩與普列瑟的論文中有一個方程式，明確說明這兩組看起來長相各異的公式其實(shí)是相等的。格林恩說：“你可以有一個抽象上已知正確的公式，但是想把方程式計(jì)算到適當(dāng)?shù)木_度以得出數(shù)值，卻是很大的挑戰(zhàn)。我們有方程式，卻沒有從它提煉出數(shù)值的工具。而坎德拉斯和他的合作者發(fā)明出這項(xiàng)工具，這是很大的成就，對幾何學(xué)也有很大的影響?！?p>　　19世紀(jì)幾何學(xué)的重要結(jié)果之一是凱利（Arthur Cayley）與賽爾曼（George Salmon）的研究，它們證明在所謂的“三次曲面”上共有27條直線。舒伯特后來推廣了這個凱利—賽爾曼定理。（

　　這個想法闡明了鏡對稱的潛力。我們或許不需要再去煩惱卡拉比—丘空間中曲線數(shù)量的計(jì)數(shù)，因?yàn)榱硗庥幸环N和計(jì)數(shù)這種苦差事比起來很不一樣的計(jì)算方式，也可以獲得相同的答案?？驳吕箞F(tuán)隊(duì)運(yùn)用這個想法，計(jì)算了五次三維形中三次有理曲線的數(shù)目，結(jié)果答案是317206375。

　　計(jì)數(shù)這些有理曲線的目的，并不僅止于該數(shù)值，而是放眼于整個流形的結(jié)構(gòu)。因?yàn)樵谟?jì)數(shù)的同時，基本上我們是以成熟的數(shù)學(xué)技巧在移動這些曲線，直到過程涵蓋整個空間。在這樣的過程中，我們其實(shí)是利用這些曲線來定義這個空間，不管它是五次三維形或其他空間都適用。

　　計(jì)數(shù)曲面上的直線或曲線數(shù)，是代數(shù)幾何學(xué)與枚舉幾何學(xué)中的常見問題。想知道曲面上的直線的樣子，可看看圖中這個雙直紋雙曲面，它是由一系列的直線所完全構(gòu)成的，而它之所以稱為雙直紋，是因?yàn)榍嫔厦恳稽c(diǎn)都有兩條直線通過。不過對于枚舉幾何學(xué)來說，這樣的曲面并不是好例子，因?yàn)樯厦娴闹本€數(shù)是無窮多。

　　這些結(jié)果的整體效果，讓一個垂死的幾何學(xué)分支乍然蘇醒。根據(jù)美國加州大學(xué)圣地亞哥分校的數(shù)學(xué)家馬克·格羅斯（Mark Gross）的看法，坎德拉斯團(tuán)隊(duì)領(lǐng)先運(yùn)用鏡對稱的想法，解決了這個枚舉幾何學(xué)的難題，導(dǎo)致整個領(lǐng)域獲得重生。“當(dāng)時這個領(lǐng)域基本上已經(jīng)死了，”格羅斯說，“當(dāng)舊問題解決之后，人們有時回頭用數(shù)學(xué)的新技術(shù)來計(jì)算舒伯特?cái)?shù)，但是這些方法并無新意?！比缓笸耆龊跻饬系?，“坎德拉斯帶來了新方法，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出舒伯特所能想象的方法?！蔽锢韺W(xué)家曾經(jīng)迫切地從數(shù)學(xué)借用許多材料，然而當(dāng)數(shù)學(xué)家倒過來要跟物理借用資源時，他們卻要求先看到坎德拉斯方法嚴(yán)格性的更多證明。