1755年，瑞士數(shù)學家L.歐拉在寫一本叫《流體運動的一般原理》的書。
其中在研究無粘性流體動力學時，發(fā)現(xiàn)了一種運動的微分方程。
這個微分方程是指對無粘性流體微團應用牛頓第二定律得到的運動微分方程。
歐拉敏銳的發(fā)現(xiàn)，這個方程還可以去解釋熱的傳導、圓膜的振動、電磁波的傳播等問題。
長得是這樣的，ax2D2y+bxDy+cy=f(x)，類似二次方程。
其中a、b、c是常數(shù)，這是一個二階變系數(shù)線性微分方程。它的系數(shù)具有一定的規(guī)律：二階導數(shù)D2y的系數(shù)是二次函數(shù)ax2，一階導數(shù)Dy的系數(shù)是一次函數(shù)bx，y的系數(shù)是常數(shù)。
而且，歐拉不止步于此，還繼續(xù)發(fā)現(xiàn)了高次導數(shù)的推廣的形式。
同時歐拉使用帶自然對數(shù)底的帶還，再用D表示微分符號，再用歸納法，轉化出常微分方程。
得出的方程可以求出2次甚至高次的常微分方程通解。
在物理學上，歐拉方程統(tǒng)治剛體的轉動，可以選取相對于慣量的主軸坐標為體坐標軸系，這使得計算得以簡化，因為我們如今可以將角動量的變化分成分別描述的大小變化和方向變化的部分，并進一步將慣量對角化。
方程組各方程分別代表質量守恒（連續(xù)性）、動量守恒及能量守恒，對應零粘性及無熱傳導項的納維－斯托克斯方程。
歷史上，只有連續(xù)性及動量方程是由歐拉所推導的。然而，流體動力學的文獻常把全組方程——包括能量方程——稱為“歐拉方程”。跟納維－斯托克斯方程一樣，歐拉方程一般有兩種寫法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式強調物理解釋，即方程是通過一空間中某固定體積的守恒定律；而非守恒形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態(tài)。
歐拉方程可被用于可壓縮性流體，同時也可被用于非壓縮性流體——這時應使用適當?shù)臓顟B(tài)方程，或假設流速的散度為零。
f(x)=x^n*y^(n)+p1*x^(n-1)*y^(n-1)+……+pn-1*x*y`+pn*y
其中做變換x=e^t或t=lnx，將自變量x換成t。
可得到dy/dx，很對對應的對y求x高階導數(shù)的各個公式。
用符號D表示對t求導的運算d/dt。
可得xy`，x^2y``，以至得到x^n*y^(n)表示出的關于D的式子。
然后帶入方程，再把t換成lnx，得到原方程的解法。
可以輕松求解一個在彈性力學中常見的四階變系數(shù)線性微分方程。