第五百三十一章 韋伊證明有限域的黎曼猜想（域、數(shù)論）
韋伊被關(guān)入監(jiān)獄，但他不痛苦，反而高興。
他在想，就是在監(jiān)獄里，自己的工作照樣可以進(jìn)行，就是對(duì)黎曼猜想要證明。
在此刻，自己已經(jīng)不會(huì)受到任何打攪，只要按照自己的思路，沒日沒夜的開始證明，必然能夠得到一些結(jié)構(gòu)。
他在監(jiān)獄里無所事事，思路也變得清晰，然后一直想著黎曼猜想的破解方法。
突然，他想到黎曼猜想用的是復(fù)數(shù)域進(jìn)行破解的，那是一種無限域，所以難免會(huì)有一定的難度。如果自己要是在有限域里，就行用澤塔函數(shù)來構(gòu)造，看看其中的非平凡實(shí)數(shù)解還在那個(gè)負(fù)二分之一的軸上。
如果有限域里就出現(xiàn)了反例，那黎曼猜想就要涼涼了。如果有限域里就可以得到證實(shí)，那需要想個(gè)辦法把有限域里的道理引入到無限域里就可以了。
這就需要構(gòu)造有限域的一個(gè)復(fù)數(shù)域那樣一個(gè)世界，有限的話，基本先要把原來的復(fù)數(shù)域的里超越無理數(shù)去掉，如果去掉了這一部分，就基本上可以證明自己構(gòu)造的域是有限的了，這樣的話就只需要讓這個(gè)有限域里的任何一個(gè)部分都由實(shí)數(shù)進(jìn)行表示就可以完成。
然后在寫澤塔函數(shù)的時(shí)候，也就不是無窮的級(jí)數(shù)了，而是有限的。
這樣就好解了，非平凡實(shí)數(shù)零點(diǎn)就好找了。
但一般的無限有理數(shù)幾乎還是展現(xiàn)了很多不方便的性質(zhì)，他只能把方向轉(zhuǎn)向了有超越數(shù)的，但是確實(shí)有限的領(lǐng)域。
但一開始，數(shù)域太大，還是發(fā)現(xiàn)幾乎跟原有的黎曼猜想的情況差不多。
他只能大膽的縮小數(shù)域，縮小到肉眼可見的水平。
韋伊把有限域繼續(xù)縮小，發(fā)現(xiàn)只找到幾個(gè)非平凡零點(diǎn)，倒是在一個(gè)直線上，但是那不能滿足他的求知欲。
他繼續(xù)開始了適當(dāng)?shù)臄U(kuò)大，發(fā)現(xiàn)不論如何大，大到他好幾天算下來，非平凡解還在一條線上的時(shí)候。他突然覺得，應(yīng)該讓自己找到一個(gè)普遍的東西來證明有限域的情況都是復(fù)合的。
這就需要群論了一些表示的知識(shí)了，然后他表示出一個(gè)公式來，讓這個(gè)公式能做一個(gè)數(shù)學(xué)歸納法一般的推廣，就可以一舉攻克這個(gè)問題了。
他發(fā)現(xiàn)如果讓有限域變得普遍化，這個(gè)問題就變成了在橢圓曲線上證明里面猜想是如何的。
為了證明有限域上的黎曼猜想，韋依需要使用經(jīng)典的代數(shù)幾何方法，所以他必須先解決經(jīng)典代數(shù)幾何的概念模糊不清、理論基礎(chǔ)不穩(wěn)的嚴(yán)重問題。
為此他在1946年專門寫了一本專著《代數(shù)幾何基礎(chǔ)》，在其中韋依仿照微分流形的定義，首先提出了內(nèi)蘊(yùn)的抽象“代數(shù)簇”的定義，他用有理函數(shù)作為轉(zhuǎn)換函數(shù)，將局部的比較簡(jiǎn)單的仿射代數(shù)簇粘貼在一起，成為了一個(gè)抽象的代數(shù)簇，從而徹底擺脫了外在射影空間的束縛，極大地?cái)U(kuò)展了代數(shù)幾何的適用范圍。韋依用交換代數(shù)的語言，重新引入了代數(shù)幾何中的一批重要的概念，包括閉鏈、一般點(diǎn)、特殊化、相交重?cái)?shù)和曲面上的對(duì)應(yīng)等。
1946年，在上述這本書出版之后不久，韋依終于證明了他的關(guān)于有限域上代數(shù)曲線的黎曼猜想。然后在1948年，韋依根據(jù)他對(duì)阿貝爾簇和格拉斯曼簇(Grassmann variety)等高維代數(shù)簇在有限域上的點(diǎn)數(shù)所做的計(jì)算結(jié)果，提出了高維代數(shù)簇上與黎曼猜想類似的“韋依猜想”。
這個(gè)猜想充分顯示了在有限域上代數(shù)簇的算術(shù)(arithmetic，即數(shù)論)與復(fù)數(shù)域上的代數(shù)簇的拓?fù)渲g具有非常深刻的內(nèi)在聯(lián)系。
他果然找到了這個(gè)方式，而且證明了有限域的黎曼猜想問題。
他不敢相信這個(gè)清晰的結(jié)構(gòu)是如此的振奮人心，還在想方設(shè)法在其中找各種各樣的漏洞。結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)自己的證明過程是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑳]有任何漏洞。