第五百五十章 萊維偏序關(guān)系（集合論）

　　1905年，保羅萊維開始著手研究關(guān)于集合論的一些問題。

　　其中一個重要問題，是關(guān)于排序的。

　　集合論中有特性是無序性。

　　所以研究很多數(shù)域的時候，關(guān)于順序的問題也變得重要起來。

　　其中最為重要的是哪些可以排序，哪些不可以排序。

　　萊維的老師和顧問為雅克阿達(dá)馬。

　　他指導(dǎo)萊維做這方面的研究。

　　萊維說：“很多數(shù)域都可以正常排序，稱之為全序。而很多數(shù)域不能有全序，那也不能貿(mào)然看成無序，也要研究偏序性?！?p>　　自然數(shù)的集合配備了它的自然次序（小于等于關(guān)系）。這個偏序是全序。

　　整數(shù)的集合配備了它的自然次序。這個偏序是全序。

　　自然數(shù)的集合的有限子集{1， 2，...，n}。這個偏序是全序。

　　自然數(shù)的集合配備了整除關(guān)系。

　　給定集合的子集的集合（它的冪集）按包含排序。

　　向量空間的子空間的集合按包含來排序。

　　阿達(dá)馬說：“偏序集合是數(shù)學(xué)中，特別是序理論中，指配備了部分排序關(guān)系的集合。這理論將排序、順序或排列這個集合的元素的直覺概念抽象化。這種排序不必然需要是全部的，就是說不必要保證此集合內(nèi)的所有對象的相互可比較性。部分排序集合定義了部分排拓?fù)??！?p>　　萊維說：“一般的說偏序集合的兩個元素x和y可以處于四個相互排斥的關(guān)聯(lián)中任何一個：要么xy，要么x和y是“不可比較”的（三個都不是）。全序集合是用規(guī)則排除第四種可能的集合：所有元素對都是可比較的，并且聲稱三分法成立。自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和實(shí)數(shù)都關(guān)于它們代數(shù)（有符號）大小是全序的，而復(fù)數(shù)不是?！?p>　　阿達(dá)馬說：“這不是說復(fù)數(shù)不能全序排序；比如我們可以按詞典次序排序它們，通過x+iy小于u+iv當(dāng)且僅當(dāng)x小于u或x等于u且y小于v，但是這種排序沒有合理的大小意義因?yàn)樗沟?大于100i。按絕對大小排序它們產(chǎn)生在其中所有對都是可比較的預(yù)序，但這不是偏序因?yàn)?和i有相同的絕對大小但卻不相等，違反了反對稱性?！?p>　　萊維陷入沉思，開始思考如果要標(biāo)記東西，就需要有一定的順序。

　　而很多東西是有順序的，也就是可以被可數(shù)標(biāo)記。

　　而有些東西是沒有順序的，也就是不可以被可數(shù)標(biāo)記。

　　那什么是不能被標(biāo)記的？

　　1、無理數(shù)無法被標(biāo)記，因?yàn)槠洳豢蛇B續(xù)表示性。

　　2、隨機(jī)量子漲落無法被標(biāo)記。

　　3、等高線一類帶梯度的東西，不方便標(biāo)記。

　　4、流體向量中含渦流和湍流的。如果可標(biāo)記的話，那就可以解了，就可以寫出維納斯托克斯方程的解了。