第五百五十六章 巴拿赫-塔斯基悖論（集合論）

　　“分球怪論”，是一條數(shù)學(xué)定理。 1924年，斯特凡·巴拿赫和阿爾弗萊德·塔斯基首次提出這一定理。這一定理指出在選擇公理成立的情況下可以將一個(gè)三維實(shí)心球分成有限（不勒貝格可測(cè)的）部分，然后僅僅通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移到其他地方重新組合，不過(guò)要旋轉(zhuǎn)(不可列)無(wú)窮次，可以組成兩個(gè)半徑和原來(lái)相同的完整的球。巴拿赫和塔斯基提出這一定理原意是想拒絕選擇公理，但該證明很自然，因此數(shù)學(xué)家認(rèn)為這僅意味著選擇公理可以導(dǎo)致少數(shù)令人驚訝和反直覺(jué)的結(jié)果。

　　假設(shè)旅館有無(wú)限個(gè)房間，把這無(wú)限個(gè)房間按照一定的分類規(guī)則分成兩類，并把這兩類房間分開(kāi)，分別稱為“旅館A”和“旅館B”。

　　除去每個(gè)房間編號(hào)的問(wèn)題，那么超模君請(qǐng)大家思考：這兩個(gè)新的旅館，和原來(lái)的“希爾伯特旅館”有區(qū)別嗎?

　　我們都知道答案：沒(méi)有區(qū)別，兩個(gè)新旅館，和原來(lái)的旅館一模一樣，房間數(shù)一樣，每個(gè)房間的大小也一樣。

　　同樣的，我們往下對(duì)“巴拿赫-塔斯基分球定理”這個(gè)“無(wú)窮”的概念做一個(gè)更深層次的理解。

　　一個(gè)三維實(shí)心球，必定存在一種辦法分成有限部分，然后僅僅通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移，就可以組成兩個(gè)和原來(lái)完全相同的球（半徑相同，密度相同……所有性質(zhì)都相同）。

　　超模君初看這個(gè)定理就覺(jué)得違反了人類的直覺(jué)常識(shí)，假設(shè)球體的體積或質(zhì)量是一定的，通過(guò)旋轉(zhuǎn)或者平移以后這些碎片的總體積或總質(zhì)量應(yīng)該也是不變的，拼起來(lái)后也不可能會(huì)變成1=1+1啊，這不就是個(gè)悖論嗎？

　　這個(gè)定理還有更強(qiáng)的版本描述：

　　一塊石頭經(jīng)過(guò)分解，可以隨意組合成任何東西，可以拼成一個(gè)星球，也可以拼成一個(gè)人，甚至藏進(jìn)一個(gè)細(xì)胞之中！

　　有畫面了嗎？可以用一個(gè)石頭去拼接星球，也可以去創(chuàng)造一個(gè)世界。

　　咳咳，說(shuō)過(guò)了，讓我們先從夢(mèng)中醒來(lái)，詳細(xì)地了解一下這個(gè)定理的強(qiáng)大與神奇。

　　時(shí)間回到1924年的一天，又是一個(gè)美好又平靜的早晨。就在這個(gè)偉大的日子，兩位數(shù)學(xué)家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）和阿爾弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski)提出一個(gè)反常識(shí)的定理，人稱“分球怪論”。

　　他們當(dāng)時(shí)發(fā)表了一篇論文來(lái)概述這個(gè)理論：

　　把一個(gè)三維的半徑為1的實(shí)心球用某種巧妙方法分成五等分——五等分的意思是，把其中一份旋轉(zhuǎn)平移后可以和另外一份重合——然后把這五個(gè)分塊旋轉(zhuǎn)平移后，可以組合成兩個(gè)半徑為1的實(shí)心球。

　　簡(jiǎn)單的說(shuō)，一個(gè)球分割重組后變成了兩個(gè)同樣大小的球！當(dāng)然了，這樣的過(guò)程還可以繼續(xù)下去，兩個(gè)變四個(gè)，四個(gè)變八個(gè)......

　　但當(dāng)他們發(fā)表了這個(gè)篇論文后，就有人一馬當(dāng)先開(kāi)始抨擊，說(shuō)這顯然不正確吧。

　　如果一個(gè)實(shí)心球體積為V（因?yàn)榍虻陌霃绞?，所以V > 0），那么五個(gè)等分塊，每塊體積為V/5，平移旋轉(zhuǎn)不改變體積，那么無(wú)論它們?nèi)绾谓M合，最后得到的東西總體積是V，而不可能是2V。

　　因?yàn)?，這個(gè)論述是基于這么一個(gè)假設(shè)：

　　每一個(gè)分塊都是有“體積”的。而分球定理的理論之處就在于它把球分成了五個(gè)“不可測(cè)集”——也就是五個(gè)“無(wú)法定義體積”的奇怪分塊。所以，這里我們說(shuō)“五等分”只是說(shuō)它們其中一塊平移旋轉(zhuǎn)后能重合到另一塊上，并不是說(shuō)它們“體積相等”——因?yàn)楦揪蜎](méi)有體積，也就沒(méi)有相等之說(shuō)。

　　其實(shí)巴拿赫-塔斯基在證明結(jié)論的時(shí)候主要用到的就是集合論中的選擇公理。

　　通俗一點(diǎn)的說(shuō)，選擇公理可以這么描述：

　　用任意一組（可能有不可數(shù)無(wú)限個(gè)）非空集合，我們都可以從每個(gè)集合挑出一個(gè)元素。

　　看上去非?！盁o(wú)辜”啊——這不就是典型的“正確的廢話”么——所以它被叫做“公理”?？墒蔷褪沁@么一個(gè)公理，卻是魔力驚人，能讓我們把實(shí)心球一個(gè)變倆。這就是數(shù)學(xué)的魅力！

　　其實(shí)數(shù)學(xué)家們一開(kāi)始發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論也覺(jué)得這不太可能，包括塔斯基本人也是想利用這個(gè)定理來(lái)展示出選擇公理中存在的某些先天不足，也就是說(shuō)他們最先想責(zé)怪的就是選擇公理.

　　如果放到現(xiàn)在估計(jì)一大半的數(shù)學(xué)家會(huì)暈倒！因?yàn)樗麄儗W(xué)的東西里面有太多的定理都是在選擇公理的基礎(chǔ)上證明的，現(xiàn)在大多數(shù)數(shù)學(xué)家還是承認(rèn)選擇公理的。

　　但其實(shí)我們還忽略了一個(gè)問(wèn)題:?3的子集的體積該怎么定義?

　　回到“分球定理”中，只有那些比較漂亮的子集我們才給它們定義了體積，比如:一個(gè)球，一個(gè)立方體等等。如果是一些雜亂無(wú)章的點(diǎn)構(gòu)成的子集，是很難定義其“體積”的。

　　分球悖論的奧妙之處就在于，將一個(gè)球分成幾個(gè)部分的時(shí)候，很多部分都是一些“非常難看”的子集，它們是沒(méi)有“體積”的.也就是說(shuō)最終把一個(gè)球分成了幾個(gè)沒(méi)有“體積”的部分，然后把它們平移、旋轉(zhuǎn)后反而成了兩個(gè)同等大小的球！