第五百六十九章 高木貞治類域論（域）

　　就憑開創(chuàng)類域論這一項成就，高木貞治就足以站在這個位置。

　　類域論是現(xiàn)代數(shù)論的中心，研究數(shù)域上阿貝爾擴張的理論，如今已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)各個分支，構(gòu)造類域的世紀難題，依然是當今數(shù)學(xué)的最重要的中心之一。

　　高木貞治是日本現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的開創(chuàng)者和祖師爺，早年游學(xué)德國，回日本后培育了整整一代的日本數(shù)學(xué)家！可以說，高木貞治大師是現(xiàn)代日本數(shù)學(xué)的真正意義上的開創(chuàng)者。

　　高木貞治的偉大成就，經(jīng)他教育傳承下，奠定了日本代數(shù)，數(shù)論學(xué)派的深厚傳統(tǒng)，時至今日，日本仍然是世界抽象代數(shù)、代數(shù)數(shù)論研究的重鎮(zhèn)。

　　高木貞治知道阿貝爾的擴張論，對伽羅瓦解釋數(shù)域的擴張，和高次方程無解的理論都有很大的幫助。

　　阿貝爾擴張是一類重要的域擴張，設(shè)K是域F的伽羅瓦擴域，若其伽羅瓦群G(K/F)為一阿貝爾群，則稱此擴張為阿貝爾擴張，此時，K稱為F上阿貝爾擴域。

　　但高木貞治認為，屬于的擴張可以已經(jīng)基本的算數(shù)運算，在算數(shù)運算的擴張可以看看數(shù)字可以飽滿到什么程度。

　　高木貞治對小平邦彥說：“人類是怎么定義數(shù)字的？會不會不講究啊！”

　　小平邦彥說：“你指的是自然數(shù)？那皮亞諾公理不是從新定義了嗎？規(guī)范了呀。”

　　高木貞治說：“只能說自然數(shù)或者是整數(shù)還勉強的符合群論或者環(huán)論的一些東西，其他的小數(shù)、無理數(shù)、超越數(shù)恐怕就難以用群、環(huán)、或者交換環(huán)或者是伽羅瓦的擴張來得到了，來自人的靈性而已嗎？”

　　小平邦彥說：“發(fā)現(xiàn)如此之多的數(shù)學(xué)工具，不就是為了重新規(guī)范這些已經(jīng)存在的有用的各種數(shù)字嘛，這點類也受不起？”

　　高木貞治說：“如果是1用皮亞若公里擴展到自然數(shù)，在加個加法交換性得到負數(shù)，乘法交換性和商群得到小數(shù)，然后加個i擴展到復(fù)數(shù)。但來個非交換的矩陣，說實話，不太能吃得消。你說一下，你頂?shù)米》墙粨Q的東西嘛？”

　　小平邦彥說：“但數(shù)學(xué)中普遍存在呀！”

　　高木貞治說：“任何一個人都不喜歡不對稱的，也不喜歡非交換的，所謂此刻的非交換，也只是為了下一次的巨大的交換做準備的，所以任何一種域，都可以用阿貝爾擴張出來?！?p>　　小平邦彥說：“胡說，你喝多了吧！”

　　高木貞治說：“非但沒有，我還要跟你死磕到底，咱們要來個這個世界上有沒有非交換的東西來掰扯一下?！?p>　　小平邦彥說：“有非交換的，很多矩陣就是?！?p>　　高木貞治說：“幼稚，那些矩陣我可以還原出一些原型，改造成可以交換的易如反掌?！备吣矩懼伍_始寫出了一個矩陣，然后再周圍加了一圈零。對小平邦彥說：“你看看，這不就改造成交換的了嗎？”

　　小平邦彥說：“你加了0，那就不是原來的矩陣了。”

　　高木貞治解釋道：“誰說的？你眼里就是什么2乘2階，3乘3階矩陣。那是你每看透，都是無窮階的，其中只有2乘2階，3乘3階有非零的數(shù)字，其他都是0而已，每個矩陣階數(shù)相等，都是無窮乘無窮階的。”

　　小平邦彥說：“你太突破傳統(tǒng)了，我不太能接受你那個所謂的簡寫0的矩陣這個說法，即使你耍賴，我還能找到很多的非交換的東西。”

　　高木貞治笑說：“一樣的，即使是操作模仿，我也能把模仿弄成個其他東西，即使旋轉(zhuǎn)三角形那些，也是一樣，我都可以給你變變。最終你發(fā)現(xiàn)，你找不到非交換的東西。”

　　小平邦彥說：“照你這么說，數(shù)學(xué)都是交換的，豈不是更容易統(tǒng)一了？大喜事呀！”

　　高木貞治說：“不完全對，即使世界上任何一個東西都是由一個簡單的元交換出來的，但是這個交換過程極其繁瑣，是一大堆的邏輯符號，就算用范疇論的語言都需要寫好幾頁呢?！?p>　　小平邦彥無語：“那還不如非交換呢，把非交換弄簡單點，不也可以操作嘛！”

　　阿貝爾感覺到，關(guān)于數(shù)論中同余的問題，往往就會關(guān)聯(lián)有限群。

　　這是不可避免的。

　　只要以規(guī)范，就會讓其得到大面積驚人的使用。

　　比如二律互反等一類的數(shù)論問題，在有限域這種地方也能用得著。

　　那么近下來，讓大家接受有限數(shù)域，就是最終于的問題了。

　　對于此，阿貝爾擴張就是關(guān)于這個問題的研究的，同時后人有循環(huán)擴張、分圓擴張及庫默爾擴張。

　　對于分圓擴張，克羅內(nèi)克發(fā)展了克羅內(nèi)克的青春夢。

　　而高木貞治，解決了克羅內(nèi)克青春夢猜想。

　　類域論就是研究怎樣用k的元素來描述k的所有阿貝爾擴張的問題。

　　1920年日本數(shù)學(xué)家高木貞治完成了類域論的最早突破：對于每個擴張K，都對應(yīng)k中的一個對象T（K），即k的理想類群在某一等價關(guān)系之下的一個等價類。

　　高木描述了這些T(K)的集合，而且每一個T（K）都刻劃k的唯一的阿貝爾擴張K，并且K的代數(shù)及算術(shù)性質(zhì)可由T(K)直接推出。

　　對這個漂亮的定理，高木給出的證明非常繁復(fù)，中間還要用到解析的方法，但其中起主要作用的是定義狄利克雷L級數(shù)。

　　之前幾百年，高斯發(fā)現(xiàn)了二次互反律的多種證明。

　　1920年，高木貞治發(fā)展了關(guān)于數(shù)域的阿貝爾擴張理論，和類域論。

　　后來阿廷發(fā)現(xiàn)了阿廷互反律。

　　從中發(fā)現(xiàn)了在數(shù)論、群論和代數(shù)幾何之間的相互聯(lián)系。

　　同余代數(shù)，對于橢圓曲線與模形式。

　　而模形式對應(yīng)艾森斯坦級數(shù)。

　　所以二律互反對于級數(shù)，一般級數(shù)使用狄利克雷的L級數(shù)來表示的。

　　阿廷就發(fā)現(xiàn)了這個東西，后來推廣到阿廷互反律。